자연수, 소수, 합성수

자연수 [自然數, natural number]

1, 2, 3 등과 같이 수의 발생과 동시에 있었다고 생각되는 가장 소박한 수로 양(陽)의 정수(整數)에 해당하며, 덧셈과 곱셈은 자유롭게 할 수 있으나, 뺄셈과 나눗셈은 자유롭지 못하다. 이론적으로 확립된 것은 이탈리아의 수학자이자 논리학자인 G.페아노(1858~1932)가 '페아노의 공리'라 불리는 공리계를 발표한 데서 시작되었다.

양(陽)의 정수(整數)에 해당하며, 덧셈과 곱셈은 자유롭게 할 수 있으나, 뺄셈과 나눗셈은 자유롭지 못하다. 즉 임의의 두 자연수를 취하여 뺄셈이나 나눗셈을 하여도 그 결과가 반드시 자연수가 된다고는 할 수 없다. 예를 들면, 5－5나 3－5의 결과는 자연수가 아니다.

자연수는 가장 소박한 것이면서도 그것이 이론적으로 확립된 것은 금세기에 들어와서인데, 이탈리아의 수학자이자 논리학자인 G.페아노(1858~1932)가 '페아노의 공리'라 불리는 다음과 같은 공리계를 발표한 데서 시작되었다. 이 공리계에는 모순이 없다는 것이 분명해진 것은 그가 이 세상을 떠난 후였다.

이 공리계는 ① 1은 자연수이다. ② 임의의 자연수 x에 대하여, 그 다음의 자 연수 x'가 오직 하나 존재한다. ③ x'가 1이 되는 그러한 자연수는 존재하지 않는다. ④ x'와 y'가 동일한 자연수이면, x와 y도 동일한 자연수이다. ⑤ M이 다음 두 조건을 만족하는 자연수의 집합이라면, M은 모든 자연수의 집합이 다. 이것을 귀납공리(歸納公理)라 한다. ㉠ 1은 M에 속한다. ㉡ x가 M에 속한다면 x'도 M에 속한다. 이 공리계를 바탕으로 하여 자연수의 모든 성질이 증명된다.

그러나 근래에는 0을 최소인 순서수(順序數)로 보고 이를 유한순서수(0을 포함하는 자연수)에 속하는 것으로 한다. 즉 공집합을 순서수로 보고 이를 0으로 표시할 때 1＝{0}, 2＝{0, 1}, 3＝{0, 1, 2}… 은 순서수이고, 이 유한집합인 순서수, 즉 유한순서수는 자연수(0을 포함해서)와 동일하다. 자연수 전체의 집합을 ω라고 하면 ω＝{0, 1, 2,…} 도 순서수가 되고, 이 ω는 무한집합인 순서수로 초한순서수(超限順序數)라 한다.

소수 [素數, prime number]

1과 자기 자신만으로 나누어지는 1보다 큰 양의 정수.

이를테면, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… 등은 모두 소수이다. 4=(2²), 6=(2×3), 16=(2⁴)… 등, 소수가 아닌 자연수를 합성수(合成數)라 하며, 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다. 자연수 n이 소수인지 아닌지를 판정하려면, 2≤p≤ √n인 범위에 있는 모든 소수 p로 n을 나누어 보아, 나누어지지 않으면 소수이고, 나누어지면 합성수이다. 즉, 소수는 약수로 1과 자신을 가진 자연수이며 합성수는 약수가 3개 이상인 자연수이다.

정수의 열 2, 3, 4, 5,…로부터 소수를 찾아내는 방법으로 그리스 시대부터 알려진 에라토스테네스의 체(sieve of Erathosthenes)라는 것이 있는데, 이 방법도 실은 위와 같은 원리에 따른 것이다. 또 메르센의 소수(Mersenne number)도 소수의 유력한 판정법을 제공해 준다. 무한히 많은 소수가 존재한다는 것은 그리스 시대부터 알려진 사실이며, 유클리드의 《기하학원본》 중에도 그 설명으로 정해진다. 이 정리를 초등정수론의 기본정리라고 한다.


합성수 [合成數, composite number]

1과 그 자신 이외의 수를 약수로 가지는 자연수로, 모두 소수의 곱으로 분해할 수 있다. 이를테면, 4,6,8,9,30 등은 모두 합성수이다. 합성수는 모두 소수의 곱으로 분해할 수 있다. 이것을 합성수의 소인수분해(素因數分解)라고 한다.